Леонид Филатов родился 24 декабря 1946 года в Казани. Русский. Родители — однофамильцы: отец Филатов Алексей Еремеевич, участник ВОВ, сержант, кавалер ордена Славы 3-й степени (1914—1982), мать Филатова Клавдия Николаевна (1923—2007).
Семья часто переезжала — отец был радистом и много времени проводил в экспедициях. Детство Леонида прошло в Пензе. Когда мальчику исполнилось семь лет, родители развелись и Леонид уехал с отцом в Ашхабад к родственникам. Позднее мать уговаривает Леонида переехать к ней в Пензу, часть 8-го и весь 9-й класс Леонид учится в школе № 6 в Пензе, затем снова переезжает в Ашхабад, где жил его отец. Ещё будучи школьником, начал печататься в ашхабадской прессе.
В 1965 году после школы приехал в Москву, рассчитывая поступать на режиссёрский факультет ВГИКа. Попытка была неудачной, и Леонид по совету одноклассника решил сдать экзамены на актёрский факультет Щукинского училища и был принят на курс В. К. Львовой и Л. М. Шихматова. Окончил театральное училище в 1969 году.
В 1969 году становится актёром Московского театра на Таганке. Первая главная роль — Ведущий — в спектакле «Что делать?». Играл в спектаклях «Мастер и Маргарита», «Вишнёвый сад», «Дом на набережной», «Пристегните ремни», «Пугачёв», «Антимиры», «Товарищ, верь»; роли Горацио в «Гамлете», Кульчицкого в «Павших и живых», Федерциони в «Жизни Галилея»; «Игроки-21» (творческое объединение «Артель артистов Сергея Юрского»).
В 1982 году умирает его отец. Он был похоронен на Ашхабадском городском кладбище.
С 1985 по 1987 годы «Таганку» возглавляет Анатолий Эфрос — Филатов в это время работает в театре «Современник», затем возвращается в «Таганку».
В 1993 году вместе с Николаем Губенко, Натальей Сайко, Ниной Шацкой и другими актёрами создаёт творческое объединение «Содружество актёров Таганки».
С 1970 года Филатов работал в кино, снимался в фильмах «Город первой любви», «Экипаж», «Женщины шутят всерьёз», «Грачи», «Успех», «Чичерин», «Забытая мелодия для флейты», «Город Зеро», «Благотворительный бал».
В 1990 году снял по своему сценарию фильм «Сукины дети», сыграв в нём одну из ролей.
Тяжёлая болезнь подтолкнула Филатова взяться за новую форму творчества.
С 1993 по 2003 год он вёл на телеканале ОРТ передачу «Чтобы помнили», посвящённую забытым, хотя и известным в прошлом артистам, ушедшим из жизни. Программа выпускалась телекомпанией REN-TV.
Со времени учёбы Филатов занимался литературным творчеством, писал стихи, пародии на известных советских поэтов. Всего им было написано три пародийных цикла:
- вариации на тему сказки Корнея Чуковского «Муха-цокотуха» (пародии на Булата Окуджаву, Бориса Слуцкого, Юрия Левитанского);
- вариации на тему мультфильма «Ну, погоди!» (пародии на Беллу Ахмадулину, Давида Самойлова, Юлию Друнину, Андрея Вознесенского);
- цикл пародий «Таганка-75», посвящённых театру на Таганке (пародии на Евгения Евтушенко, Расула Гамзатова, Роберта Рождественского, Беллу Ахмадулину, Андрея Вознесенского и Сергея Михалкова).
Некоторые из своих пародий Леонид Филатов читал с эстрады голосами пародируемых поэтов.
По воспоминаниям Владимира Винокура, во втором туре Всесоюзного конкурса артистов эстрады в 1977 году он, выступавший с монологом «Про старшину Ковальчука», и Филатов, читавший пародии на Роберта Рождественского и Евгения Евтушенко, разделили вторую премию (первую премию получила Любовь Полищук, а третью — Илья Олейников и Роман Казаков).
В 1987 году Леонид Филатов дебютирует в журнале «Юность» сказкой для театра «Про Федота-стрельца, удалого молодца», которая сразу обрела популярность и стала настоящей народной сказкой в стихах.
В дальнейшем были изданы его книги «Про Федота-стрельца, удалого молодца», «Большая любовь Робина Гуда», «Любовь к трём апельсинам», «Лисистрата», «Театр Леонида Филатова», «Я — человек театральный», «Сукины дети».
Филатов является автором пьес «Пёстрые люди», «Часы с кукушкой», «Художник из Шервудского леса» и автором песен к спектаклям «Театр Клары Газуль», «Мартин Иден», «Когда-то в Калифорнии», «Геркулес и Авгиевы конюшни». Вместе с другими актёрами был соавтором спектакля «Под кожей статуи Свободы».
С 1960-х годов писал песни в соавторстве с Владимиром Качаном. В 1996 году вышел диск «Оранжевый кот» с песнями Качана и Филатова.
В 1993 году Филатов перенёс инсульт, в 1997 году — операцию по удалению почек. Более двух лет он провёл на гемодиализе — аппарате «искусственная почка». В октябре 1997 года актёру была сделана операция по пересадке донорской почки.
В октябре 2003 года Филатов простудился, началась двусторонняя пневмония. С 16 октября в тяжёлом состоянии находился в отделении реанимации Центральной клинической больницы. Всё это время был подключён к аппарату искусственного дыхания в состоянии «лекарственного и медикаментозного сна». Для лечения необходимо было принимать повышающие иммунитет препараты, что противопоказано при пересаженных органах из-за многократно повышающегося риска отторжения донорского органа. Спустя 10 дней, 26 октября 2003 года, Леонид Филатов умер.
29 октября состоялось отпевание актёра в храме Воскресения Словущего на Успенском Вражке, церемония прощания прошла в Центральном Доме кино. Похоронен на Ваганьковском кладбище в Москве.