Аргамаков Александр происходил из дворянского рода, известного с XVI в. Сын премьер-майора Василия Алексеевича А. и Федосьи Ивановны А., урожд, Фонвизиной, сестры Д. И. Фонвизина. Образование получил в Московском благородном пансионе.
С 1797 служил в Преображенском полку. 24 янв. 1798 произведен из портупей-прапорщиков в прапорщики. С 29 сент. 1800 — полковой адъютант. Одновременно, будучи плац-майором Михайловского замка в Петербурге, подавал Павлу I ежедневные рапорты о пожарах в городе. В 1801 принял участие в заговоре против императора. Хорошо зная внутреннее расположение замка, 11 марта 1801 провел заговорщиков в кабинет Павла I и, по рассказам некоторых современников, непосредственно участвовал в его убийстве. В 1801—1802 имел чин поручика, в 1808 — капитана. 4 авг. 1809 в чине полковника оставил службу «за болезнию, с мундиром». В июле 1812 был назначен командиром егерского полка Московского ополчения. В 1820-е гг. управлял фабрикой по выделке лосиной кожи.
Литературную деятельность начал в пансионе, напечатав в сборнике «Полезное упражнение юношества» (1789) прозаический перевод с фр. «Рассуждение о вкусе сельской жизни», басню и три эпиграммы. В 1794—1795 сотрудничал в «Приятном и полезном», где опубликовал ряд переводных и оригинальных стихотворений, в т. ч. две анакреонтические «Оды» (1794, ч. 1, 4). Стихотворение «Моя хижинка» вызвало критические замечания В. С. Подшивалова (1794, ч. 1). В стихотворении «К Москве» (1794, ч. 4) содержалось упоминание о предстоящем отъезде автора из Москвы. Во время службы в Преображенском полку Аргамаков продолжал писать «мелкие стихотворения, разного содержания, легкими, звучными стихами». Сдружился с С. Н. Мариным, вел с ним шутливую переписку в стихах. Общался с Ф. И. Толстым, М. С. Воронцовым, Г. В. Гераковым, А. А. Шаховским, актерами и музыкантами, посещавшими дом директора петербургских театров А. Л. Нарышкина. С одической традицией связаны принадлежащие Аргамаков «Стихи императору Александру <….> на день светлого воскресенья марта 24 числа». В ответ на стихотворение «Сон» и басню «Голова и ноги» Д. В. Давыдова Аргамаков написал (в 1803—1804) полемические стихи также под заглавием «Сон» («Вчера я лег в постелю»), анонимно опубликованные в «Друге просвещения» (1806, № 4). В 1812 Аргамаков выступил с «Одой на истребление врагов отечества…». Значительная часть шутливых дружеских стихов Аргамаков в печати не появилась.
Похоронен в Покровском монастыpe.