Феликс Иванович Чуев родился 4 апреля 1941 года в городе Свободный Амурской области в семье лётчика. После окончания средней школы в Кишинёве поступил на физико-математичекий факультет Кишинёвского государственного университета, а через год перевёлся в Московский энергетический институт на факультет автоматики и вычислительной техники.
Определяющей для творчества стала тема лётчиков и судьбы послевоенного поколения. Начал печататься в 11 лет. В 20 Феликс Чуев создаёт первую книгу стихов «Год рождения 41-й». Потом он создаёт другие книги, в том числе, «Соколиная песня крыла» (1970), «Отечество» (1972), «Награда» (1985), «Русский пламень» (1990) и другие.
Многие стихи Феликса Чуева стали песнями, музыка которых принадлежит Владимиру Шаинскому, Евгению Доге, Анатолию Зубкову, Павлу Райгородскому, Александру Шемрякову, Владимиру Дружинину, Евгению Шмакову, Виктору Голикову, Вячеславу Сподареву, Борису Кураеву, Виктории Филатовой и другим. Много талантливых и интересных песен написаны двоюродным братом поэта — народным артистом России, лауреатом премии Президента России Михаилом Чуевым.
Феликс Чуев сочетал поэтический дар с талантом публициста. Он — автор документально-художественных повестей о крупнейшем учёном Б. С. Стечкине и выдающемся авиаконструкторе С. В. Ильюшине, документальных повестей «Сто сорок бесед с Молотовым», «Солдаты империи» и других. В 1964 году Чуев окончил Московский энергетический институт.
Член Союза писателей СССР и России.
Феликс Иванович Чуев умер 2 апреля 1999 года. Похоронен в Москве на Троекуровском кладбище.