Родился в Харькове в 1919 году в семье адвоката, бывшего жандармского (по другим данным, кавалерийского) ротмистра Валентина Михайловича Кульчицкого.
Первое стихотворение было опубликовано в 1935 году в журнале «Пионер». Учился в школе № 1 восемь классов. Окончив десятилетнюю школу № 30, работал плотником, чертёжником на Харьковском тракторном заводе.
Поступив в Харьковский университет, через год перевёлся на второй курс Литературного института им. Горького (семинар Ильи Сельвинского). Учась, давал уроки в одной из московских школ.
В 1941 г. Кульчицкий уходит в истребительный батальон.
В середине декабря 1942 года окончил пулемётно миномётное училище, получил звание младшего лейтенанта.
19 января 1943 года командир миномётного взвода младший лейтенант Михаил Кульчицкий погиб под селом Трембачёво Луганской области при наступлении от Сталинграда в район Харькова (Юго-Западный фронт, 6 армия, 350 СД 1178 СП).
Перезахоронен в братской могиле села Павленково. Имя поэта выбито золотом на 10-м знамени в Пантеоне Славы Волгограда.