Родился в деревне Дубровки Тверской губернии в семье сапожника-старообрядца. Участвовал в революции 1905 года, в 1906 году написал ряд стихов на революционные темы. Ранние стихи Клычкова были одобрены С. М. Городецким. В 1908 году с помощью М. И. Чайковского выехал в Италию, где познакомился с Максимом Горьким. Поэт учился на историко-филологическом факультете Московского университета (а после — на юридическом; исключён в 1913 году), затем, во время Первой мировой войны, отправился на фронт; войну окончил в звании прапорщика. В 1919—1921 годах жил в Крыму, где едва не был расстрелян (махновцами, затем белогвардейцами). В 1921 году переехал в Москву, где сотрудничал в основном в журнале «Красная новь».
Стихи ранних поэтических сборников Клычкова («Песни: Печаль-Радость. Лада. Бова», 1911; «Потаённый сад», 1913) во многом созвучны со стихами поэтов «новокрестьянского» направления — Есенина, Клюева, Ганина, Орешина и др. Некоторые из стихов Клычкова были размещены в «Антологии» издательства «Мусагет». Ранние клычковские темы были углублены и развиты в последующих сборниках «Дубравна» (1918), «Домашние песни» (1923), «Гость чудесный» (1923), «В гостях у журавлей» (1930), в стихах которых отразились впечатления Первой мировой войны, разрушение деревни; одним из основных образов становится образ одинокого, бездомного странника. В поэзии Клычкова появились ноты отчаяния, безысходности, вызванные гибелью под натиском «машинной» цивилизации сошедшей с пути Природы старой Руси.
Клычков — один из трёх авторов кантаты, посвящённой «павшим в борьбе за мир и братство народов» (1918).
Клычковым написаны три романа — сатирический «Сахарный немец» (1925; в 1932 году вышел под названием «Последний Лель»), сказочно-мифологический «Чертухинский балакирь» (1926), «Князь мира» (1928).
Выступал Клычков и с критическими статьями («Лысая гора», 1923; «Утверждение простоты», 1929), переводами (в 1930-х; переводил эпосы народов СССР, народные песни и сказания; переводил произведения многих грузинских поэтов — Г. Леонидзе, Важа Пшавела и др., перевёл знаменитую поэму Шота Руставели «Витязь в тигровой шкуре»).
Поэт был близко знаком с С. А. Есениным, С. Т. Конёнковым.
В 1937 году Сергей Клычков был арестован по ложному обвинению, 8 октября 1937 года приговорён к смертной казни и в тот же день расстрелян. В 1956 году реабилитирован. В справке о реабилитации указана ложная дата смерти — 21 января 1940 года, перешедшая в некоторые издания.
Возможно, его прах в братской могиле на Донском кладбище в Москве.
В настоящее время на родине поэта, в селе Дубровки Талдомского района Московской области, существует мемориальный музей Клычкова.