Княжнин родился в дворянской семье, воспитывался дома до 16 лет, а затем был отвезён в Петербург, в гимназию при Академии наук, под руководство профессора Модераха, где пробыл семь лет. Содержатель пансиона Лови учил его французскому, немецкому и итальянскому языкам. Ещё в школьном возрасте Княжнин начал литературную деятельность, сочиняя оды и мелкие стихотворения.
По окончании курса поступил в Иностранную коллегию юнкером, был назначен переводчиком, служил в канцелярии, занимавшейся строением домов и садов, но скоро перешёл на военную службу и был адъютантом при дежурном генерале.
В 1769 году Княжнин выступил со своей первой трагедией «Дидона», поставленной сначала в Москве, а затем в придворном театре в присутствии самой императрицы Екатерины II. Благодаря этой трагедии Княжнин близко познакомился с А. П. Сумароковым и женился на его старшей дочери — для тех времён весьма незаурядной личности, ставшей первой русской писательницей, опубликовавшей свои произведения в печати. В течение трёх лет Княжнин написал трагедию «Владимир и Ярополк» и комические оперы «Несчастие от кареты» и «Скупой» (музыка Василия Пашкевича, поставлены на сцене театра Карла Книпера). Тогда же он перевёл роман Мадам де Тансен «Несчастные любовники, или Истинные приключения графа Коминжа» (СПб., 1771).
В 1773 году за совершённую по легкомыслию огромную по тем временам растрату почти в 6000 рублей Княжнин был отдан под суд военной коллегии, которая присудила его к разжалованию в солдаты. Однако императрица простила его, и в 1777 году ему вернули капитанский чин. За это время Княжнин перевёл «Генриаду» вольнодумца Вольтера и несколько трагедий Корнеля и Кребийона. В 1781 году Княжнина пригласил к себе на службу И. И. Бецкой, настолько доверявший ему, что все бумаги проходили через руки Якова Борисовича, и ему же принадлежала редакция записки об устройстве воспитательного дома.
В 1784 году, когда в Санкт-Петербурге была поставлена его трагедия «Росслав», публика пришла в такой восторг, что непременно хотела видеть автора. Однако скромный Княжнин не решился выйти на сцену, и за него изъявлял благодарность публике исполнитель главной роли Иван Дмитриевский.
С этих пор дом Княжнина становится литературным центром, а сам Княжнин — членом российской академии и приобретает благосклонность княгини Е. Р. Дашковой. Когда императрица Екатерина заказывает трагедию Княжнину, тот в три недели пишет «Титово милосердие». Затем в течение 1786 года появляются трагедии «Софонисба» и «Владисан» и комедия «Хвастун».
В то же время Княжнин успевает давать уроки русского языка в Сухопутном шляхетском корпусе.
В дальнейших работах для театра Княжнин на долгое время сосредоточился на комедии и комической опере («Сбитенщик», «Неудачный примиритель», «Чудаки», «Траур, или Утешенная вдова», «Притворно сумасшедшая»).
Только в 1789 году Княжнин снова пишет трагедию — «Вадим Новгородский», но не решается отдать его на сцену по политическим мотивам. Французская революция и вызванная ею реакция при русском дворе подсказали Княжнину, что выступать с произведением, где основатель русского государства трактуется как узурпатор и восхваляется политическая свобода, было бы в такой ситуации неуместно. О трагедии знали только близкие к Княжнину люди, и поэтому он не лишился благосклонности императрицы. Более того, она приказала отпечатать собрание сочинений Княжнина за казённый счет и отдать автору.
Смерть Княжнина 14 января 1791 года от простуды избавила его от крупных неприятностей, которые угрожали ему за его последнюю трагедию. Эта пьеса вместе с другими бумагами Княжнина попала к книгопродавцу Глазунову, а от него к княгине Дашковой. Княгиня Дашкова была в это время не в ладах с императрицей и не без умысла напечатала в 1793 году «Вадима». Вольнодумство трагедии тут же заметил И. П. Салтыков, в результате чего пьеса была уничтожена как в отдельном издании, так и в 39-й части «Российского Феатра». Разошедшиеся экземпляры в течение нескольких лет конфисковывались у книгопродавцов и читателей.
Похоронен Княжнин в Санкт-Петербурге на Смоленском кладбище.
За Княжниным утвердился данный ему Пушкиным меткий эпитет «переимчивого». Не ограничиваясь подражанием европейским образцам, Княжнин часто заимствовал целые тирады, преимущественно из французских классиков, а иногда просто переводил их пьесы без указания источника. Однако следует подчеркнуть, что в русской литературе XVIII в. это считалось не просто обычным делом, но даже почти достоинством, поэтому Княжнин стяжал прозвище «российского Расина». Современники не ставили ему в упрёк даже оперу «Сбитенщик», хотя это в сущности копия с Аблесимовского «Мельника».
Наиболее оригинальные пьесы Княжнина — это «Вадим Новгородский» и «Росслав», хотя и в последней трагедии, по замечанию Мерзлякова, Росслав (в 3 явлении 3 акта) «как молотом поражает Христиерна высокими словами, заимствованными из трагедий Корнеля, Расина и Вольтера».
В «Дидоне» Княжнин подражал Лефран-де-Помпиньяну (англ.) и Метастазио; «Ярополк и Владимир» — копия с «Андромахи» Расина; «Софонисба» заимствована у Вольтера; «Владисан» повторяет «Меропу» Вольтера; «Титово милосердие» — почти сплошной перевод из Метастазио; «Хвастун» — почти перевод комедии де Брюйе (англ.) «L’important de cour»; «Чудаки» — подражание «L’homme singulier» Детуша.
Вся эта широкая система заимствования отнюдь не лишает пьес Княжнина серьезного историко-литературного значения.
Хронологически Княжнин является вторым русским драматургом после Сумарокова. «Отец российского театра» несомненно превосходил Княжнина драматическим талантом, но зато Княжнин ушёл далеко вперед в выработке сценического языка и в фактуре стихов. Княжнин больше Сумарокова страдает склонностью к риторике, но вместе с тем обладает большой технической виртуозностью. Целый ряд его стихов становился ходячими цитатами у современников: «Тиранка слабых душ, любовь — раба героя; коль счастья с должностью не можно согласить, тогда порочен тот, кто счастлив хочет быть»; «Исчезнет человек — останется герой»; «Да будет храм мой — Рим, алтарь — сердца граждан»; «Тот свободен, кто, смерти не страшась, тиранам не угоден» и т. п.
Ещё важнее внутреннее достоинство трагедий Княжнина — построение многих пьес преимущественно на гражданских мотивах. Правда, герои Княжнина — ходульные, но они пылают благородством и в своих сентенциях отражают философию века просвещения.
Лучшие комедии Княжнина, «Хвастун» и «Чудаки», также не лишены достоинств. Несмотря на заимствования, Княжнину удалось придать им много русских черт. Так как в них риторика была не нужна, то язык, которым говорят действующие лица комедий, вполне простой, разговорный, несмотря на рифмованные стихи. Комедии были главным образом направлены против французомании, тщеславия, желания «казаться, а не быть», отчасти против сословных предрассудков и т. д.