Родился 12 мая 1933 года в Москве. Отец — Андрей Николаевич Вознесенский (1903—1974), инженер-гидротехник, доктор технических наук, профессор, директор Гидропроекта, Института водных проблем АН СССР, участник строительства Братской и Ингурской гидроэлектростанций, заслуженный деятель науки и техники Узбекской ССР; мать — Антонина Сергеевна (1905—1983), урожд. Пастушихина.
Учился в одной из старейших московских школ (ныне Школа № 1060). В четырнадцатилетнем возрасте послал свои стихи Борису Пастернаку, дружба с которым в дальнейшем оказала сильное влияние на его судьбу. Закончил в 1957 году Московский архитектурный институт. 46 лет прожил в браке с писательницей, кино- и театральным критиком Зоей Богуславской.
Первые стихи поэта, сразу отразившие его своеобразный стиль, были опубликованы в 1958 году. Его лирика отличалась стремлением «измерить» современного человека категориями и образами мировой цивилизации, экстравагантностью сравнений и метафор, усложнённостью ритмической системы, звуковыми эффектами. Он ученик не только Маяковского и Пастернака, но и одного из последних футуристов — Семёна Кирсанова. Вознесенский написал стихотворение «Похороны Кирсанова», позже положенное на музыку под названием «Памяти поэта» большим поклонником Кирсанова Давидом Тухмановым (песню исполнял Валерий Леонтьев).
Первый сборник Вознесенского — «Мозаика» — был издан во Владимире и навлёк на себя гнев властей. Редактора Капитолину Афанасьеву сняли с работы и даже хотели уничтожить тираж. Второй сборник — «Парабола» — вышел в Москве и сразу стал библиографической редкостью. Одно из лучших стихотворений этого периода — «Гойя», нестандартно отразившее трагедию Великой Отечественной войны, — было обвинено в формализме.
В то время устраивались многочисленные встречи с поэтами. Проходили ставшие известными вечера в Политехническом музее.
Вознесенский наряду с Евтушенко и Ахмадулиной вызывал резкое неприятие у некоторой части советской литературной общественности. Это неприятие выражалось и в стихах — например, в стихотворении Николая Ушакова «Модный поэт», 1961 или в стихотворении Игоря Кобзева «Комсомольским активистам», 1963. На улице Горького в «Окнах сатиры» уже в 60-х годах изображён рабочий, выметающий «нечисть» метлой, — и среди сора-нечисти был изображён Вознесенский со сборником «Треугольная груша». В марте 1963 года на встрече с интеллигенцией в Кремле Никита Хрущёв подверг поэта разгромной критике. Под аплодисменты большей части зала он кричал: «Убирайтесь вон, господин Вознесенский, к своим хозяевам. Я прикажу Шелепину, и он подпишет вам заграничный паспорт!». Вознесенский неоднократно выезжал в различные зарубежные страны для выступлений. Он стал одним из самых популярных русских поэтов в США. Вознесенский сдружился с поэтом-битником Алленом Гинзбергом, стал другом семьи Артура Миллера. Его встреча с Мэрилин Монро позднее запечатлелась в строках: «Я Мэрлин, Мэрлин. / Я героиня / Самоубийства и героина».
Через год после сборника «Треугольная груша» вышла посвящённая Ленину поэма Вознесенского «Лонжюмо». Стихотворный сборник «Антимиры» послужил основой знаменитого спектакля Театра на Таганке в 1965 году. Для этого спектакля Владимир Высоцкий написал и спел «Песню акына» на стихотворение Вознесенского.
В 1970-е Вознесенского стали издавать достаточно хорошо, он выступал по телевидению и получил в 1978 году Государственную премию СССР, но в том же году принял участие в неподцензурном альманахе «Метрополь» (1978).
Вознесенский — автор архитектурной части монумента «Дружба навеки» в честь двухсотлетия присоединения Грузии к России на Тишинской площади в Москве. Скульптурная часть памятника выполнена З. Церетели.
Вознесенский дружил со многими деятелями искусства, о встречах с которыми вспоминал в статьях и мемуарно-биографических книгах. Он был собеседником Сартра, Хайдеггера, Пикассо.
На стихи поэта написаны популярные эстрадные песни: «Плачет девочка в автомате», «Верни мне музыку», «Подберу музыку», «Танец на барабане», «Песня на „бис“» и главный хит «Миллион алых роз», где поэт в стихах пересказал новеллу Паустовского о любви художника Пиросмани к французской актрисе. С автором четырёх последних песен Раймондом Паулсом Вознесенский сотрудничал очень много. Рок-опера «„Юнона“ и „Авось“», написанная на либретто Вознесенского Алексеем Рыбниковым, была поставлена в 1981-м Марком Захаровым в Московском театре имени Ленинского комсомола и до сих пор не сходит со сцены. Наиболее известен романс «Я тебя никогда не забуду», основанный на стихотворении «Сага».
Жил и работал в подмосковном Переделкино, по соседству с дачей-музеем Бориса Пастернака, где два раза в год, 10 февраля (день рождения Пастернака) и 30 мая (день смерти поэта) проводил поэтические чтения. Встречам с Пастернаком посвящена книга Вознесенского «Мне четырнадцать лет».
Скончался 1 июня 2010 года после продолжительной болезни на 78-м году жизни у себя дома в Москве. В 2010 году Андрей Вознесенский перенёс второй инсульт, после которого он окончательно не оправился. Первый инсульт поэт пережил за 4 года до смерти. Отпевание поэта по православному обряду состоялось в полдень 4 июня в церкви святой мученицы Татьяны при МГУ. Андрея Вознесенского похоронили 4 июня 2010 года на Новодевичьем кладбище в Москве рядом с родителями.